Die Exponentialfunktion aus dem vorangegangenen Abschnitt kann man auch in der Kernphysik sehr vielseitig verwenden - zum Beispiel beim radioaktiven Zerfall. Doch bevor wir damit anfangen, trinken wir erstmal eine Tasse Kaffee. Genauer: Eine Tasse Cappuccino. Und zwar mit viel Milchschaum.

Der Zerfall von Milchschaum

Denn der besteht aus unglaublich vielen kleinen Tröpfchen, die mit der Zeit zerplatzen, bis kein Schaum mehr da ist. Die Anzahl dieser Tröpfchen - und damit die Menge Schaum - kann man mit Hilfe der Exponentialfunktion beschreiben. Die Herleitung und das Zerfallsgesetz funktioniert genau wie beim Zerfall radioaktiver Atome, der im nächsten Abschnitt erörtert wird.

Bei genauer Beobachtung des Milchschaumes erkennt man: Pro Zeitintervall zerfällt stets ein konstanter Prozentsatz der Schaumtröpfchen. Bei einem durchschnittlichen Milchschaum können das z. B. 30 Prozent pro Minute sein.

Das heißt: Pro Zeiteinheit verringert sich der Milchschaum um 0,3 mal der aktuellen Menge Milchschaum, oder:

Kommt uns diese Gleichung nicht irgendwie bekannt vor? Genau, sie sieht genauso aus wie die Gleichung vom Bakterienwachstum! Und genauso kann man sie auch lösen... Versuchen wir es doch mal, und gucken dann im nächsten Fenster nach, ob wir richtig liegen.

Die Gleichung, die die Menge an Milchschaum in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt, lautet einfach:

Das Minus vor dem 0,3 kommt davon, dass die Tröpfchen zerfallen und das der Wert 0,3 etwas mit der Geschwindigkeit zu tun hat, mit der der Milchschaum zusammenfällt, ist klar. Wie die Zusammenhänge genau sind, erklären die folgenden Abschnitte.

Jetzt ist klar, wofür das M0 steht: Dieser Wert verschiebt die Zerfallskurve entlang der x-Achse. Ist M0 = 1, dann startet die Kurve beim Wert 1, weil e hoch 0 = 1. Ist M0 größer als 1, dann startet der Zerfall mit mehr Milchschaum, und bei M0 < 1 mit weniger Milchschaum.

Es gibt damit so etwas wie die Anfangsmenge an Milchschaum vor.

Und was ist mit α?

Bislang haben wir angenommen, dass der Wert für α 0,3 pro Minute ist. Aber es gibt auch Schäume, die schneller oder langsamer zerfallen; entsprechend kann α auch kleinere oder größere Werte annehmen. Man kann also mit Hilfe von M und α die Zerfallsformel an die Wirklichkeit anpassen.

Mal ein Beispiel: Angenommen, die Schaummenge betrage zu Anfang 250 cm³; nach 6 Minuten sind noch 50 cm³ vorhanden. Wie groß muss man dann M0 und α wählen? Zum Ausrechnen ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion erforderlich, der Logarithmus ln. Wer noch nie was davon gehört hat, kann die Werte auch mit Hilfe der Cappuccinoschaum-Animation durch Probieren herausfinden.